Magische Zahlen

“Der weiseste und beste Lehrer ist die Natur selbst”
Leonardo da Vinci

 

Der Goldene Schnitt

Im Laufe der Jahrhunderte wurden viele Zahlen – seien es einzelne wie der goldene Schnitt oder ganze Zahlenfolgen wie die Fibonacci-Folge – über alle anderen Zahlen erhoben. Sie wurden so sehr verehrt, dass man sie als magisch bezeichnete.

Magie ist ein Wort, das wir gewöhnlich mit Dingen oder Ereignissen verbinden, die wir nicht auf vernünftige oder wissenschaftliche Weise erklären können. Sie ist ein Prozess, bei dem sich etwas in etwas anderes verwandelt, obwohl eine solche Transformation eigentlich nicht möglich sein dürfte. Vieles von dem, was die Alten für echte Magie hielten, beruhte größtenteils auf wissenschaftlichen Tricks, die von Magiern oder Priestern vor unwissenden oder uninformierten Menschenmengen vorgeführt wurden.

Heute ist Magie zur Kunst unsichtbarer Tricks geworden, bei denen der Beobachter weit mehr darüber staunt, wie der Trick ausgeführt wird, als über das magische Ereignis selbst. Im wissenschaftlichen Bereich bezeichnen Mathematiker eine Zahl als magisch, wenn sie bestimmte Eigenschaften besitzt, die sie einzigartig machen – jedoch ausschließlich in einem rein mathematischen und algebraischen Sinn. Ein Physiker hingegen nennt eine Zahl oder eine Menge von Zahlen magisch, wenn die Natur sie in ihrem Aufbau zu bevorzugen scheint, wie etwa die sogenannten magischen Zahlen, die den Energieniveaus eines Atomkerns entsprechen.

Aber selbst wenn Wissenschaftler manche Zahlen gelegentlich als magisch bezeichnen, meinen sie dies nicht wörtlich. Für sie sind diese Zahlen lediglich eine Konsequenz der Naturgesetze; das Etikett „magisch“ ist lediglich eine unbeabsichtigte Fehlbezeichnung. Für die Wissenschaftler und Philosophen der Vergangenheit hingegen galt: Wenn sie ein Muster, eine Form oder eine Zahl beobachteten, die sich in der Natur in unterschiedlichen Bereichen und auf verschiedenen Ebenen wiederholte, betrachteten sie diese als einzigartig und magisch – als in der Natur manifestierten Ausdruck göttlichen Designs und göttlicher Weisheit. Sie versuchten, sie zu verstehen, nachzuahmen und überall dort einzusetzen, wo es möglich war, weil sie glaubten, dadurch die göttliche Schönheit und den göttlichen Zweck in ihre eigenen Werke zu übertragen, die dadurch lebendig und harmonisch würden. Mit anderen Worten: Sie glaubten, dass diese Zahlen ihre irdischen Schöpfungen auf magische Weise in himmlische verwandeln könnten.

Einfach ausgedrückt: Was in der natürlichen Welt weit verbreitet und für ihren grundlegenden Aufbau wesentlich ist – sei es eine Zahl oder eine Form –, gilt als bedeutungsvoll und wichtig für die Intelligenz hinter ihrer Schöpfung und folglich als magisch für die Alten. Und genau deshalb werden diese Zahlen hier untersucht, um zu zeigen, dass sie weitaus magischer sind, als jemals angenommen wurde.

Es gibt keine Zahl, die stärker als magisch verehrt wird als der goldene Schnitt. Mathematisch ist er definiert als die Teilung einer Strecke, bei der sich das Verhältnis des größeren Abschnitts zum kleineren genauso verhält wie das Verhältnis der gesamten Strecke zum größeren Abschnitt, wie unten dargestellt.

 

Abbildung 18: Der goldene Schnitt entsteht durch die Teilung einer Strecke in zwei Segmente, wobei sich das Verhältnis des größeren zum kleineren Abschnitt so verhält wie das der gesamten Strecke zum größeren Abschnitt. 

Der numerische Wert dieser erstaunlichen Zahl (die üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben Φ bezeichnet wird) ist unabhängig von der Länge der betrachteten Strecke immer gleich – ähnlich wie die Zahl π unabhängig vom Durchmesser eines Kreises stets denselben Wert besitzt. Und wie die meisten fundamentalen Konstanten, etwa π und e, ist Φ eine irrationale Zahl, also eine Zahl, die sich unendlich fortsetzt, ohne sich zu wiederholen. (π und e sind sogar noch „irrationaler“ als Φ: Während Φ aus einer algebraischen Gleichung gewonnen werden kann, ist dies bei π und e nicht der Fall. Solche Zahlen werden transzendent genannt.

Der magische Status der Konstanten Φ ergibt sich sowohl aus ihren einzigartigen mathematischen Eigenschaften als auch aus ihrer allgegenwärtigen Präsenz in der natürlichen Welt. Der goldene Schnitt Φ ist zusammen mit seinen mathematischen Varianten wie 1/Φ = 0,618… und Φ² = 2,618… in viele Naturgesetze und Muster eingebettet, die Wachstum und Proportionen bestimmen. So findet sich Φ beispielsweise in den Proportionen des menschlichen Körpers, etwa im Gesicht, in den Armen, im Rumpf usw. Jede Doppelhelix der DNA misst 34 Ångström in der Länge und 21 Ångström in der Breite, was einem Verhältnis von etwa 1,619 entspricht – sehr nahe bei Φ. Ebenso ist der goldene Schnitt im Aufbau jedes Fünfecks und Pentagramms enthalten, wobei jedes der fünf kleinen Dreiecke, aus denen das Pentagramm besteht (oder die großen, die das Fünfeck definieren), ein goldenes Dreieck ist, dessen Seitenverhältnisse exakt Φ entsprechen, wie unten gezeigt. Diese grundlegende Beziehung zwischen Φ und dem Fünfeck ergibt sich aus ihrem mathematischen Ausdruck, der die Quadratwurzel der Zahl 5 enthält: Φ = (1 + √5) / 2.

Abbildung 19: Der goldene Schnitt Φ bestimmt die Proportionen
jedes Fünfecks oder Pentagramms.

Wenn wir fortlaufend goldene Dreiecke ineinander einsetzen, wie unten dargestellt, und anschließend eine Kurve zeichnen, die die Spitzen der einzelnen Dreiecke miteinander verbindet, erzeugen wir die sogenannte goldene Spirale. Diese Spiraltypen werden als logarithmische Spiralen bezeichnet, da sie ihre Proportionen bei jeder Windung beibehalten. (Sie unterscheiden sich von archimedischen Spiralen, bei denen stattdessen die Abstände zwischen den Spiralarmen konstant bleiben.) Die goldene Spirale ist in der natürlichen Welt allgegenwärtig – von den Spiralformen vieler Lebewesen, etwa der Schale des Nautilus, über die Hörner mancher Tiere bis hin zu den Spiralarmen von Galaxien.

Abbildung 20: Die goldene Spirale, gebildet durch das Verbinden der Spitzen benachbarter goldener Dreiecke,
die alle durch den goldenen Schnitt Φ definiert sind.

 Ein weiterer geometrischer Aspekt von Φ ist das goldene Rechteck, bei dem das Verhältnis seiner beiden Seiten Φ entspricht, wie unten dargestellt. Und ähnlich wie beim goldenen Dreieck lässt sich auch innerhalb ineinander geschachtelter goldener Rechtecke eine goldene Spirale nachzeichnen.

Abbildung 21: Ein goldenes Rechteck mit den Dimensionen b und c, wobei c/b = Φ ist.
Es enthält eine goldene Spirale, die aus ineinander geschachtelten
goldenen Rechtecken entsteht.

 Viele antike Zivilisationen – etwa die Ägypter, Griechen und Mesopotamier – setzten Φ in ihrer Architektur und ihren Zeichnungen ein, indem sie goldene Rechtecke in ihre Werke integrierten. Denn immer dann, wenn ein Gemälde oder ein Monument unter Berücksichtigung von Φ entworfen wird, wirkt es harmonischer und für den Betrachter angenehmer.

Ein bekanntes Beispiel ist die berühmte babylonische Tafel des Schamasch, die auf das 9. Jahrhundert v. Chr. datiert wird und in deren Gestaltung der goldene Schnitt in viele ihrer Elemente eingebettet ist, wie unten gezeigt.

Abbildung 22: Die babylonische Tafel des Schamasch (9. Jahrhundert v. Chr.) ist so gestaltet,
dass ihre Abmessungen den goldenen Rechteckproportionen entsprechen. 

Viele Maler der Renaissance verwendeten Φ in ihren Gemälden, etwa Leonardo da Vincis „Das letzte Abendmahl“ oder Sandro Botticellis berühmtes Werk „Die Geburt der Venus“. Selbst in der Musik ordneten einige Komponisten ihre Werke nach Φ an, in der Überzeugung, ihre Musik dadurch tiefgründiger und angenehmer zu machen – darunter Dufay, Bach, Beethoven, Mozart und Chopin, um nur einige zu nennen.

Abbildung 23: „Vasilissa ergo gaude“ von Guillaume Dufay (1397–1474) basiert fast vollständig auf dem goldenen Schnitt.

So existiert der goldene Schnitt – ob numerisch oder geometrisch, natürlich oder künstlich – in nahezu allem um uns herum. Seine schönen mathematischen und geometrischen Eigenschaften machen ihn zu dem bevorzugten Proportionsprinzip, durch das sich die Natur ausdrückt. Und später im Buch, wenn wir die Wellennatur der Zahlen diskutieren, zeigen wir, dass der goldene Schnitt nicht nur eine der wichtigsten Konstanten der Natur ist, sondern sehr wahrscheinlich auch der Ursprung aller anderen Konstanten.

 

Die Fibonacci-Folge

Fibonacci-Zahlen waren bereits seit der Zeit des Alten Ägyptens bekannt. Ihr heutiger Name wird dem Mann zugeschrieben, der sie in Europa einführte: Leonardo von Pisa, auch bekannt als Fibonacci (1170–1250 n. Chr.). Ihm wird nachgesagt, diese Zahlenfolge entdeckt zu haben, während er das theoretische Wachstumsverhalten von Kaninchen untersuchte. Ausgehend von einem einzelnen Paar, dargestellt durch [1, 1], wird jede nachfolgende Zahl durch die Summe der beiden vorhergehenden erzeugt, wodurch sich folgende Folge ergibt: [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …]. Beachte, dass die Zahlen 21 und 34, welche die Skalierung der DNA bestimmen, zur Fibonacci-Folge gehören.

Interessanterweise können der goldene Schnitt und die Fibonacci-Zahlen aus­einander hergeleitet werden, da sich das Verhältnis jeweils zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen dem exakten Wert des goldenen Schnitts annähert – und dies umso stärker, je größer die Zahlen werden: 3/2 = 1,5; 5/3 = 1,666…; 8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625; 21/13 = 1,61538…; 144/89 = 1,61797… Schließlich konvergiert dieses Verhältnis sehr nahe an 1,6180… (Interessanterweise stimmt das Verhältnis der 24. und 23. Fibonacci-Zahl mit dem goldenen Schnitt bis auf 9 Dezimalstellen überein: 46368/28657 = 1,618033988… Man kann also sagen, dass wir bei der 24. Fibonacci-Zahl einen vollständigen Zyklus der Übereinstimmung mit dem goldenen Schnitt erreichen.)

Umgekehrt lässt sich die Fibonacci-Folge durch einfache mathematische Relationen aus dem goldenen Schnitt berechnen, wie in der folgenden Tabelle gezeigt. Wenn man bedenkt, dass Φ eine irrationale Zahl ist, während Fibonacci-Zahlen rational und exakt sind, wird diese Entsprechung umso bemerkenswerter.

Tabelle 6: Fibonacci-Zahlen, erzeugt aus Potenzen und Kehrwerten des goldenen Schnitts. 

 

 

Die Fibonacci-Spirale

Die eigentliche Kraft der Fibonacci-Folge liegt nicht allein in ihrem numerischen Aspekt, sondern vielmehr in dem geometrischen Muster, das ihre Zahlen formen – der Spirale –, die in der Natur umfassend zur Anordnung und Packung ihrer Bestandteile genutzt wird.

Eine logarithmische Fibonacci-Spirale kann innerhalb einer Folge angrenzender Quadrate nachgezeichnet werden, deren Seitenlängen Fibonacci-Zahlen entsprechen, wie unten dargestellt. (Beachte, dass diese Spirale nicht identisch mit der goldenen Spirale ist, da hier Quadrate anstelle goldener Rechtecke verwendet werden.) Dieser geometrische Aspekt ist einzigartig für die Fibonacci-Folge. (Wie wir im nächsten Kapitel sehen werden, werden Lucas-Zahlen nach exakt derselben Logik wie die Fibonacci-Zahlen erzeugt; sie bilden jedoch keine geometrischen Muster.)

 

Abbildung 24: Aneinandergrenzende Quadrate, deren Abmessungen der Fibonacci-Folge folgen,
definieren eine perfekte logarithmische Spirale.

Pflanzen zeigen Fibonacci-Zahlen sowohl in ihren Spiralformen als auch in der Anzahl dieser Spiralen. Artischocken beispielsweise besitzen im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn verlaufende Spiralen, die Fibonacci-Zahlen entsprechen: 5 im Uhrzeigersinn und 8 gegen den Uhrzeigersinn. Auch Ananas zeigen diese Zahlen in ihren dreifach gewundenen Schuppen: 8, 13 und 21; ebenso gilt dies für die Blütenstände von Sonnenblumen und viele andere.

Wenn wir die digitale Wurzel der Fibonacci-Folge betrachten, tritt ein zyklisches Muster auf, bei dem sich die Ziffern in einem 24-gliedrigen Zyklus wiederholen:

[1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9]
 Digitale Wurzeln der ersten 48 Fibonacci-Zahlen

Erinnere dich an die Zahl 24 aus den vorherigen Kapiteln, in denen das 24-Moduli-Rad interessante Eigenschaften zeigte, insbesondere im Zusammenhang mit Primzahlen. Dies ist ein weiterer äußerst wichtiger Ort, an dem diese Zahl offen verborgen ist – man musste lediglich die digitale Wurzel anwenden, um sie sichtbar zu machen.

Wenn diese 24 Ziffern um einen Kreis angeordnet werden, zeigt der D-Kreis zahlreiche interessante geo-numerische Symmetrien. Beispielsweise ergänzen sich jeweils zwei Zahlen auf demselben Durchmesser zu 9; ebenso gibt es zwei Gruppen von 3‑6‑9‑Segmentierungen mit ihren entsprechenden 3‑6‑9‑D‑Summen.

Abbildung 25: Der auf 24 basierende D‑Kreis der Fibonacci-Folge. Jeweils zwei Zahlen auf demselben Durchmesser ergeben zusammen 9. Zudem unterteilt die Gruppe [3, 6, 9] den Kreis in drei Segmente, deren D‑Summen ebenfalls 3, 6 und 9 sind.

Die Perfektion dieser 24 Zahlen in ihren geo-numerischen Symmetrien ist ebenso elegant wie faszinierend. Würde auch nur eine Zahl von ihrem exakten Wert abweichen, wäre die Ganzheit der Symmetrien zerstört. Beachte zudem die perfekte Triangulierung der Zahlengruppen [1, 4, 7], [2, 5, 8] und [3, 6, 9], deren Mitglieder gemeinsam oder einzeln um gleichseitige Dreiecke angeordnet sind. Diese Aufteilung der ersten neun Zahlen in drei Gruppen ist eine Beobachtung von größter Bedeutung, der wir im weiteren Verlauf des Buches immer wieder begegnen werden.

Welche weiteren Informationen könnte der Fibonacci‑D‑Kreis verbergen? Und gibt es andere auf 24 basierende D‑Kreise, die ihm ähnlich sind? Um dies herauszufinden, wenden wir uns einer weiteren berühmten Zahlenfolge zu, die dieselbe Erzeugungsmethodik wie Fibonacci teilt: der Lucas‑Folge.

Die Lucas-Folge

Die Lucas-Folge ist eine weitere Zahlenreihe, die in der Natur beobachtet werden kann, jedoch nicht so häufig wie die Fibonacci-Folge. Ihren Namen erhielt sie nach dem französischen Mathematiker François Édouard Anatole Lucas (1842–1891), der auch den Fibonacci-Zahlen ihren Namen gab. Die Erzeugung der Lucas-Zahlen ist der der Fibonacci-Zahlen sehr ähnlich, mit dem Unterschied, dass wir mit den Zahlen [2, 1] (anstelle von [1, 1]) beginnen, wobei jede nachfolgende Zahl die Summe der beiden vorhergehenden ist: [2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, …]. Ähnlich wie bei Fibonacci können Lucas-Zahlen exakt aus einfachen Kombinationen des goldenen Schnitts Φ und seiner Potenzen berechnet werden, wie in der folgenden Tabelle gezeigt wird.

Tabelle 7: Erzeugung der Lucas-Zahlen aus den Potenzen des goldenen Schnitts.

Lucas-Zahlen stehen in Beziehung zu vielen mathematischen Problemen und treten in der Phyllotaxis einiger Pflanzen auf, sind jedoch im Vergleich zu Fibonacci-Zahlen selten. So würden wir beispielsweise anstelle von 5 im Uhrzeigersinn und 8 gegen den Uhrzeigersinn verlaufenden Spiralen die Zahlen 4 und 7 zählen, wie es etwa bei der Blattverteilung der Greenovia Aurea der Fall ist.

Im D-Raum zeigen Lucas-Zahlen einen weiteren 24-gliedrigen Wiederholungszyklus mit ähnlichen geo-numerischen Symmetrien wie die Fibonacci-Zahlen: [2, 1, 3, 4, 7, 2, 9, 2, 2, 4, 6, 1, 7, 8, 6, 5, 2, 7, 9, 7, 7, 5, 3, 8].

Interessanterweise würden wir, wenn wir die beiden D-Kreise von Fibonacci und Lucas so übereinanderlegen, dass die Zahlen 3, 6 und 9 auf beiden Kreisen übereinstimmen, und anschließend die D-Summe der überlagerten Zahlen bilden, einen invertierten (um 180° gedrehten) Fibonacci-Kreis erzeugen. (Eine Drehung um 180° entspricht dem Eintragen der Zahlen gegen den Uhrzeigersinn statt im Uhrzeigersinn.) Noch interessanter ist, dass wenn wir die beiden Kreise nach einer 180°-Drehung eines von ihnen relativ zum anderen überlagern (so dass die 3- und 6-Zahlen im einen im Vergleich zum anderen vertauscht sind) und anschließend die D-Summe bilden, der resultierende Kreis ausschließlich aus den Zahlen [3, 6, 9] bestehen würde, wie unten in Abbildung 27 gezeigt.

Abbildung 26: Der 24-basierte D-Kreis der Lucas-Folge. Ähnlich wie bei Fibonacci ergeben jeweils zwei Zahlen auf demselben Durchmesser zusammen 9. Zudem unterteilt die Gruppe [3, 6, 9] den Kreis in drei Segmente, in denen die D-Summe der enthaltenen Zahlen ebenfalls 3, 6 und 9 beträgt.

Abbildung 27: Überlagert man den D-Kreis der Fibonacci-Folge mit einem um 180° gedrehten Lucas-Kreis, entsteht ein reiner [3, 6, 9]-Kreis.

Der oben dargestellte D-Kreis ist interessant, da er aus der dreifach wiederholten Folge [3, 3, 6, 9, 6, 6, 3, 9] besteht, wie unten gezeigt. Darüber hinaus folgt diese Folge derselben Summenlogik wie die beiden anderen Folgen von Fibonacci und Lucas, jedoch mit den Anfangsziffern [3, 3]: 3+3 = 6, 3+6 = 9, 6+9 = 6, und so weiter.

Abbildung 28: Die dreifach identischen 8-basierten Unterkreise des 3-6-9-D-Kreises. Jeder Unterkreis kann als eine vollständige Oktave verstanden werden.

Jeder der kleineren, auf 8 basierenden Kreise besitzt die interessante Eigenschaft, dieselben Verhältnisse zwischen seinen Zahlen zu erzeugen, jedoch in unterschiedlicher Reihenfolge, je nachdem, ob wir uns im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn bewegen. Darüber hinaus ergeben all diese Verhältnisse zusammen exakt 10: 3 + 1 + (1/2) + (2/3) + (3/2) + 1 + 2 + (1/3) = 10, was der Dekade entspricht – Pythagoras’ heiligster Zahl der Tetraktys.

Abbildung 29: Betrachtet man einen Unterkreis des 3-6-9-D-Kreises, so summieren sich die gegenseitigen Verhältnisse der Zahlen zu 10. 

Wie wir bereits zuvor bei der Verdopplung von Zahlen gesehen haben, ist die Gruppe [3, 6, 9] im Vergleich zu den beiden anderen Gruppen [1, 4, 7] und [2, 5, 8] einzigartig. Und ein Kreis, der vollständig aus diesen Zahlen besteht, deutet auf eine interessante Dynamik zwischen den beiden Folgen von Fibonacci und Lucas hin. Wir werden dies im nächsten Abschnitt weiter untersuchen.

Das Magische Quartett

Wie wir oben gezeigt haben, werden die Fibonacci- und Lucas-D-Kreise mit derselben Summenlogik erzeugt und unterscheiden sich lediglich in ihren beiden Anfangsziffern. Doch wie viele weitere D-Kreise können wir mit dieser Logik erzeugen? Es stellte sich heraus, dass wir – ganz gleich, welche zwei Anfangszahlen wir wählen – stets Sequenzen erhalten, die im digitalen Wurzelraum einen 24-fachen Wiederholungszyklus aufweisen. Beginnen wir beispielsweise mit den Zahlen 3 und 1 (nennen wir sie die Samen), erzeugen wir ebenfalls 24 sich wiederholende Zahlen, die, auf einem Kreis dargestellt, eine diagonale 9-Symmetrie und eine doppelte [3, 6, 9]-Segmentierung zeigen, wie unten dargestellt. Diese Zahlenfolge wird Pibonacci genannt, und daher nennen wir ihren Kreis den Pibonacci-D-Kreis.

Abbildung 30: Der Pibonacci-D-Kreis, erzeugt aus dem Samen [3, 1],
unter Verwendung derselben Logik wie bei den Fibonacci- und Lucas-Sequenzen.

Interessanterweise erzeugt jede neue Folge denselben ursprünglichen D-Kreis, wenn wir mit zwei benachbarten Zahlen eines D-Kreises von Fibonacci, Lucas oder Pibonacci beginnen und sie als Samen einer neuen Sequenz verwenden – vorausgesetzt, wir summieren in der richtigen Richtung. Beginnen wir beispielsweise mit den Zahlen [7, 2] auf dem Lucas-D-Kreis und bewegen uns im Uhrzeigersinn, so erhalten wir als nächste Zahl 7+2 = 9, dann D(9+2) = 2, dann 2, 4, …, bis wieder derselbe ursprüngliche Lucas-D-Kreis entsteht. Mit anderen Worten: Diese Kreise tragen die Samen ihrer eigenen Erzeugung in sich.

Doch wie viele dieser 24-basierten D-Kreise gibt es?

Es ist nicht schwer, das herauszufinden. Wir müssen lediglich eine Tabelle mit allen möglichen Kombinationen der ersten beiden Zahlen (der Samen) aufstellen, wie unten gezeigt. Anschließend schließen wir alle Zahlenpaare aus, die in den D-Kreisen von Fibonacci, Lucas und Pibonacci vorkommen, da diese Paare wieder dieselben D-Kreise erzeugen würden. Diese Zahlen sind durch weiße, dunkelgraue und graue Felder gekennzeichnet. Auf diese Weise stellen wir fest, dass alle verbleibenden Paare (die dunkleren Felder) zu nur einer einzigen Sequenz gehören – der des 3-6-9-D-Kreises.

Tabelle 8: Tabelle aller möglichen Samen zur Verwendung in der Summenlogik der Fibonacci-Sequenz.

Insgesamt erhalten wir somit vier Kreise, die mit demselben Mechanismus erzeugt werden und sich alle in einem 24-fachen Zyklus wiederholen. Diese vier Kreise werde ich das Magische Quartett nennen.

Interessant ist, dass alle vier Kreise aus einander erzeugt werden können, indem man einen über den anderen legt und die überlappenden Zahlen addiert, wie in der folgenden Tabelle gezeigt.

Tabelle 9: Die verschiedenen Kombinationen des magischen Quartetts und die Ergebnisse ihrer Additionen.
(Inv. steht für invertierten Kreis; 180°-Rotation.)

Wie aus derselben Tabelle ersichtlich ist, sind alle diese D-Kreise über den 3-6-9-Kreis miteinander verbunden, der die Fähigkeit besitzt, einen Kreis in einen anderen zu transformieren, wie unten gezeigt.

Abbildung 31: Die Transformation des magischen Quartetts. Addiert man einen magischen D-Kreis zu einem anderen, entsteht ein dritter. Der [3, 6, 9]-D-Kreis besitzt die Fähigkeit, die anderen drei D-Kreise ineinander zu transformieren.

Darüber hinaus erzeugt das Addieren der drei D-Kreise (Fibonacci + Lucas + Pibonacci) einen invertierten 3-6-9-Kreis; und wenn alle vier addiert werden, entsteht ein reiner Neuner-D-Kreis, wie unten gezeigt. Somit ergänzen sie einander vollständig.

Abbildung 32: Das Addieren der Mitglieder des magischen Quartetts erzeugt einen reinen Neuner-D-Kreis. Ohne den [3, 6, 9]-D-Kreis erzeugt ihre Addition einen invertierten [3, 6, 9]-D-Kreis.

Wir können eine numerische Hierarchie aus den drei D-Kreisen von Fibonacci, Lucas und Pibonacci bilden, wie unten dargestellt. Beachten Sie, wie die Zahlen in radialer Richtung so angeordnet sind, dass jeder Zweig vollständig aus den Mitgliedern einer der Tripelgruppen [1, 4, 7], [2, 5, 8] und [3, 6, 9] besteht.

Abbildung 33: Das Ineinander-Schachteln der drei D-Kreise von Fibonacci, Lucas und Pibonacci erzeugt eine Hierarchie, bei der diagonale Zahlen den Tripeln [1, 4, 7], [2, 5, 8] und [3, 6, 9] folgen – entweder gemeinsam oder einzeln, z.B. [3, 3, 3].

Somit sind die D-Kreise des magischen Quartetts nicht nur individuell, sondern auch kollektiv perfekt. Gemeinsam erzeugen sie einen vollständigen Raum der 24-heit, der außerhalb der digitalen Wurzel nicht erreicht werden kann. Der 3-6-9-D-Kreis fungiert als Vermittler zwischen den anderen drei und kann einen Kreis in den anderen überführen – gleichsam wie ein Stein der Weisen oder ein Philosophenkreis. Das Verständnis der numerischen Zusammensetzung dieser D-Kreise und ihrer Verschränkungen wird unser Verständnis der ihnen zugrunde liegenden Zahlen erheblich vertiefen. Diese Zahlen sind einzigartig – nicht nur aufgrund ihrer digitalen Wurzel-Sequenzierung oder ihrer natürlichen Erscheinungsformen, sondern auch aufgrund ihrer Erzeugungslogik.

Die meisten Zahlenfolgen sind rein mathematisch in dem Sinne, dass sie durch Formeln dargestellt werden können, die von einer bestimmten Variablen x abhängen; setzt man einen beliebigen Wert für x ein, wird automatisch eine neue Zahl erzeugt. Beispielsweise lassen sich Pentagonzahlen mit der Formel Pₓ = 0,5 × (3x² − 1) berechnen, wobei x = 0, 1, 2, … ∞. Fibonacci-, Lucas-, Pibonacci- und selbst die 3-6-9-Sequenzen sind jedoch nicht vollkommen mathematisch in diesem Sinn. Hinter ihrer einfachen Logik verbirgt sich ein fundamentaler Unterschied, der sie von vollkommen systematischen Zahlenfolgen abhebt. Um zu verstehen, warum dies so ist, müssen wir ihre Erzeugungslogik Schritt für Schritt untersuchen.

Mathematisch können diese Sequenzen mit dem einfachen Ausdruck Uₙ₊₁ = Uₙ + Uₙ₋₁ erzeugt werden, wobei jede neue Zahl durch die Summe der beiden vorhergehenden entsteht. Der Unterschied zwischen diesen Zahlen und anderen, etwa Pentagonzahlen, liegt genau in diesem Schritt: Man muss die gegenwärtige Zahl (Uₙ) und die vorherige (Uₙ₋₁) kennen, um die nächste (Uₙ₊₁) zu erzeugen. Ihr Erzeugungsmechanismus hängt also von Vergangenheit und Gegenwart ab, um die Zukunft hervorzubringen. Pentagonzahlen hingegen müssen weder ihre Gegenwart noch ihre Geschichte kennen, um zu existieren.

Abbildung 34: Um eine beliebige Zahl des magischen Quartetts zu erzeugen, muss man die Geschichte und die Gegenwart kennen, um die Zukunft zu schaffen.

Doch das Wissen um die Geschichte erfordert eine Rückkopplungsschleife und ein Gedächtnis – ein Bewusstsein. Unser Bewusstsein erlaubt es uns, die beiden vorhergehenden Zahlen zu betrachten, um die dritte zu erzeugen. Es sind bewusstseinsabhängige Zahlen.

Jenseits dieser bewussten Zahlen liegt das Reich des Chaos, in dem Zahlen ohne erkennbares Muster oder bekannte mathematische Formalisierung existieren. Und so liegt zwischen diesen beiden Extremen – dem vollständig systematischen und mathematischen einerseits und dem völlig zufälligen und chaotischen andererseits – das Feld der Bewusstseinszahlen des magischen Quartetts: die symmetrischsten im D-Raum, die Zahlen des Lebens.

„Das Hauptziel der Wissenschaft ist Einfachheit, und je mehr wir verstehen, desto einfacher wird alles.“
Edward Teller