Die digitale Wurzel einer Zahl

„Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Zahlentheorie
ist die Königin der Mathematik.“
Carl Friedrich Gauß

 

Mathematik und Eigenschaften

Wir beginnen unsere Diskussion über Mathematik und Zahlen mit der Erklärung der Grundlagen der digitalen Wurzel, da sie im gesamten Buch ausführlich verwendet wird.

Die digitale Wurzel, auch bekannt als modulare Mathematik, ist ein wichtiger Zweig der Zahlentheorie. Sie hat viele Anwendungen, insbesondere im Bereich der digitalen Sicherheit und Verschlüsselung. Die modulare Mathematik kann mit jeder numerischen Basis arbeiten, z. B. Basis‑10, Basis‑12, Basis‑60 usw. In diesem Buch konzentrieren wir uns jedoch hauptsächlich auf Basis‑10 (die tatsächlich Basis‑9 ist, wie weiter unten erklärt wird).

Einfach ausgedrückt reduziert die Operation der digitalen Wurzel eine Zahl auf eine einzelne Ziffer. Dies geschieht durch fortlaufendes Addieren der einzelnen Ziffern einer Zahl. Beispielsweise wird die digitale Wurzel von 5432 wie folgt berechnet: 5 + 4 + 3 + 2 = 14 = 1 + 4 = 5. Das mögliche Ergebnis dieser Operation kann ausschließlich eine Zahl von 1 bis 9 sein. (Deshalb haben wir vorgeschlagen, dass es sich eher um eine Basis‑9‑ als um eine Basis‑10‑Operation handelt.)

Unter dieser Operation können wir uns Zahlen als auf einem Rad mit 9 Speichen und Segmenten angeordnet vorstellen (besser bekannt als Moduli, Plural von Modulus), wobei Zahlen von 1 bis unendlich um die neun Moduli verteilt sind. In dieser Konfiguration enthält jeder Modulus nur jene Zahlen mit derselben digitalen Wurzel, wie in der untenstehenden Abbildung gezeigt.

Bevor wir fortfahren, hier einige Hinweise zur Terminologie der digitalen Wurzel, die wir im gesamten Buch verwenden werden: Der Buchstabe D bezeichnet die Bildung der digitalen Wurzel einer Zahl; z. B. bedeutet D(13), die digitale Wurzel der Zahl 13 zu bilden. Der Begriff D‑Summe bezieht sich auf die digitale Wurzel der Summe einer Gruppe von Zahlen. Somit gilt:

D‑Summe(13, 14, 15) = D(13 + 14 + 15) = D(42) = 6. Und der D‑Raum bezeichnet den Raum der digitalen Wurzel‑Operation, in dem Zahlen ausschließlich von 1 bis 9 reichen.

Abbildung 3: Das Rad der digitalen Wurzeln. Zahlen, die dieselbe digitale Wurzel haben, gehören zur gleichen Modulo-Klasse.

Im Folgenden erklären wir die grundlegendsten algebraischen Operationen innerhalb der Logik der digitalen‑Wurzel‑Mathematik.

Addition
Wenn a + b + c + … = d, dann gilt D[D(a) + D(b) + D(c) + …] = D(d).

Beispiel: 3830.64 + 9457.385 = 13288.025.

D(3830.64) = D(3+8+3+0+6+4) = D(24) = 6, D(9457.385) = D(41) = 5, und D(13288.025) = 2.
Daher gilt D(6 + 5) = D(11) = 2 = D(13288.025).

Es ist offensichtlich, dass die digitale Wurzel jeder irrationalen Zahl undefiniert ist, wie z. B. im Fall von π, wo D(π) = D(3.14159265…). Da π unendlich ist, kann seine digitale Wurzel nicht berechnet werden.

Multiplikation
Wenn a × b × c × … = d, dann gilt D[D(a) × D(b) × D(c) × …] = D(d).

Beispiel: 35.86 × 95 = 3406.7 und D(35.86) = 4, D(95) = 5, D(3406.7) = 2, und D(4 × 5) = D(20) = 2 = D(3406.7).

Subtraktion
Regel: Wenn a − b − c − … = d, dann gilt D[D(a) − D(b) − D(c) − …] = D(d).

Division
Die Division funktioniert für die meisten Zahlen gut, jedoch nicht immer, z. B. beim Teilen durch 7. (Allgemein hängt in der modularen Mathematik die Division vom größten gemeinsamen Teiler zwischen den beteiligten Zahlen und der numerischen Basis ab. Wir halten es hier jedoch einfach, da dies im Kontext des Buches nicht stark benötigt wird.)

Beispiel: 3456 / 5 = 691.2 und D(3456) = 9 und D(9 / 5) = D(1.8) = 9.

 Die Division durch 7 ist ein Sonderfall, bei dem das Ergebnis stets eine sich wiederholende Sequenz der Zahlen [1, 4, 2, 8, 5, 7] ergibt. Diese sechs Ziffern [1, 4, 2, 8, 5, 7] werden die septenären Zahlen genannt, und wir werden ihnen im Laufe des Buches häufig begegnen.

Zahl 9: Die Null des D‑Raums
Obwohl die Zahl 9 die letzte und größte Zahl des D‑Raums ist, verhält sie sich in diesem endlichen Raum so, wie sich die Zahl 0 im regulären unendlichen Zahlenraum verhält. Beispielsweise ändert das Addieren von 9 zu einer beliebigen Zahl deren digitale Wurzel nicht, genauso wie das Addieren von 0 keinen Einfluss hat. So gilt etwa: D(276) = 6 und D(9 + 276) = D(285) = D(2 + 8 + 5) = D(15) = 6.

Darüber hinaus ist die digitale Wurzel jeder Multiplikation mit der Zahl 9 immer 9, so wie das Multiplizieren mit 0 jede Zahl zu 0 macht – unabhängig von ihrer Größe. Beispielsweise: D(241 × 9) = D(2169) = 9.

Diese Eigenschaft der Zahl 9, gleichzeitig die größte und kleinste zu sein, ist einzigartig im D‑Raum und hat einige interessante Implikationen, wie wir später noch sehen werden.

Seit jeher wird die Zahl 9 zur Symbolisierung von Vollendung verwendet; sie ist die Zahl, die Zeitzyklen beendet und ein Zeitalter abschließt, bevor ein neues beginnt – etwa bei der Präzession der Tagundnachtgleichen, also der Bewegung der Tierkreiszeichen hinter der aufgehenden Sonne. Alle 72 Jahre (D = 9) verschieben sich die Tierkreiszeichen um ein Grad gegenüber ihrer vorherigen Position. Für einen vollständigen Zyklus benötigt es etwa 25 920 Jahre (360 × 72), und D(25 920) = 9. Derzeit treten wir in das Zeitalter des Wassermanns ein oder befinden uns bereits darin.

Berossos, der babylonische Priester, der um das 3. Jahrhundert v. Chr. lebte, listete die zehn sumerischen vorsintflutlichen Könige auf und zeigte, dass sie alle über Zeiträume regiert haben sollen, deren digitale Wurzel 9 ist, wie in der untenstehenden Tabelle gezeigt.

 Tabelle 1: Berossos’ Liste der vorsintflutlichen sumerischen Könige
und ihrer Regierungszeiten.

In der griechischen Mythologie ließ Zeus eine große Flut über die Erde kommen, um die Menschheit auszulöschen; sie dauerte 9 Tage. In der Bibel wird Noah als der 9. Patriarch genannt, bevor die große Sintflut die Erde überflutete. Ebenso haben alle Zeitperioden des Maya‑Kalenders digitale Wurzeln von 9, ebenso wie die hinduistischen Yugas: Satya‑Yuga = 1 728 000 Jahre, Treta‑Yuga = 1 296 000 Jahre, Dwapara‑Yuga = 864 000 Jahre und Kali‑Yuga = 432 000 Jahre.

Ob diese Zeiträume real sind oder nicht, spielt keine Rolle; entscheidend ist die Rolle, die die Zahl 9 beim Abschluss all dieser Zyklen spielt – die eine numerische Eigenschaft, an die alle Zivilisationen der Welt geglaubt haben. Es gibt etwas Grundlegendes an dieser Zahl, das tief im Unterbewusstsein der Menschheit verwurzelt ist, und dieses Buch könnte ein Licht auf den Grund dafür werfen.

 

 

Der Basis-D-Kreis

Wie wir im vorherigen Kapitel gesehen haben, nehmen Zahlen im D-Raum nicht unbegrenzt gegen unendlich zu; vielmehr durchlaufen sie einen Kreislauf von 1 bis 9 und wieder zurück zu 1 in einer unendlichen Schleife. Dabei bilden sie Kreise (oder Spiralen) wie den unten dargestellten, die viele interessante Eigenschaften aufweisen.

So teilen beispielsweise die Zahlen [3, 6, 9] den Kreis in drei gleich große Segmente, wobei die D-Summe der Zahlen in jedem Segment ebenfalls 3, 6 bzw. 9 ist: 1 + 2 = 3, 4 + 5 = 9 und D(8 + 7) = D(15) = 6. Darüber hinaus ist die D-Summe jedes Zahlenpaares, das sich über einen Durchmesser gegenüberliegt, stets gleich. So ist etwa die D-Summe der Zahlenpaare entlang des Durchmessers, der mit der 9 beginnt (den wir die 9‑Symmetrielinie nennen), gleich 9: 1 + 8, 2 + 7, 3 + 6, 4 + 5 (wie in derselben Abbildung gezeigt). Entlang der 3‑Symmetrielinie ist sie 6: 2 + 4, 1 + 5, 9 + 6, 8 + 7; entlang der 6‑Symmetrielinie ist sie 3; entlang der 1‑Symmetrielinie ist sie 2 usw. Die Regel lautet: Zahlenpaare über jede Symmetrielinie hinweg ergeben die doppelte Zahl, die dieser Linie zugeordnet ist. Außerdem teilen die Zahlen [3, 6, 9] den Kreis in drei Segmente, wobei die D‑Summe in jedem Segment ebenfalls [3, 6, 9] entspricht.

Abbildung 4: Die neun Ziffern des D-Raums wiederholen sich in einer kreisförmigen oder spiralförmigen Anordnung. [3, 6, 9] teilen den Kreis in drei Teile, wobei die D-Summe der Zahlen in jedem Teil ebenfalls 3, 6 bzw. 9 ist.

Beginnen wir mit der Zahl 1 auf dem grundlegenden D‑Kreis und ziehen eine Linie zur Zahl 2, verdoppeln dabei schrittweise unsere Schritte, so gelangen wir zur Zahl 4 und dann zu 8. Erneutes Verdoppeln ergibt 16 mit einer digitalen Wurzel von 7, sodass wir zu 7 verbinden. Weiteres Verdoppeln ergibt 2 × 16 = 32 mit einem D‑Wert von 5, dann 64 mit einem D‑Wert von 1, was uns wieder zu unserem Ausgangspunkt zurückführt. Weiteres Verdoppeln führt uns immer wieder entlang desselben Pfades, ad infinitum. Dabei zeichnen wir eine V‑Form (oder das Unendlichkeitssymbol ∞), gebildet aus den Zahlen [1, 2, 4, 5, 7, 8], denselben septenären Zahlen, die wir im vorherigen Abschnitt gesehen haben. Während des gesamten Verdopplungsprozesses wird die Gruppe [3, 6, 9] vom Rest isoliert. Auch ihre Verdopplung verhält sich anders: 3 verdoppelt sich zu 6, welches sich wieder zu 3 zurückverdoppelt, und so weiter. Die Zahl 9 verdoppelt sich ausschließlich zu sich selbst.

Abbildung 5: Im D-Raum verläuft der Verdopplungsprozess zyklisch:
von 1 über 2, 4, 8, 7 und 5 wieder zurück zu 1. 

Ordnet man die sechs Ziffern der Verdopplungsoperation in ihrer exakten Reihenfolge (2, 4, 8, 7, 5, 1) um einen Kreis an, so befinden sich die geraden Zahlen auf einer Seite des Kreises und die ungeraden auf der anderen. Ungerade und gerade Zahlen repräsentieren die numerischen Aspekte gegensätzlicher Kräfte des Universums, ähnlich dem Yin‑Yang‑Konzept der taoistischen Philosophie, das die im Universum existierende Dualität symbolisiert: Wasser und Feuer, nass und trocken, dunkel und hell, männlich und weiblich usw. Um die Harmonie und das Gleichgewicht des gesamten Universums aufrechtzuerhalten, durchdringen und überlagern sich diese gegensätzlichen Kräfte in einem kreisförmigen oder wellenartigen Muster, wie im Yin‑Yang‑Symbol dargestellt.

Die zwei kleinen weißen und schwarzen Kreise repräsentieren die Existenz jeder Kraft innerhalb ihres Gegenteils und heben die absolute Reinheit jeder Kraft auf, während sie zugleich die Notwendigkeit verdeutlichen, die jede für die andere besitzt, um sich selbst zu vervollständigen.

Abbildung 6: Das Yin-Yang-Zeichen der sich gegenüberstehenden Kräfte der Natur, formuliert in einer vollkommenen numerischen Sprache. 

Wir können die obige Logik auch numerisch umformulieren, indem wir feststellen, dass wir beim Addieren der geraden Zahlen (2 + 4 + 8) 14 erhalten, dessen digitale Wurzel 5 ist – eine ungerade Zahl. Tun wir dasselbe mit den ungeraden Zahlen D(1 + 5 + 7), so erhalten wir die Zahl 4, die gerade ist. Deshalb sind diese Zahlen in den Zentren der kleinen Kreise positioniert. Darüber hinaus ergibt das Addieren der ungeraden und geraden D‑Summen miteinander (4 + 5) die Zahl 9, eine Zahl, die Vollendung bringt. Auch das Addieren der diagonal gegenüberliegenden Zahlen erzeugt die Zahl 9: 1 + 8, 2 + 7 und 4 + 5. Somit benötigen diese gegensätzlichen Aspekte einander, um sich in einer bedingten Einheit zu vervollständigen. (Diese spezifische Eigenschaft der Vollendung wird sich als wesentlich für unser Verständnis des Universums erweisen, insbesondere wenn wir den atomaren Bereich diskutieren.)

Die obige numerische Entsprechung ist nur eines von vielen Beispielen, die veranschaulichen, wie einfache Zahlen und ihre digitalen Wurzeln uraltes Wissen bestätigen können. Alles im Universum – von Kräften über Materie bis hin zu physikalischen Gesetzen – besitzt seine eigene numerische Entsprechung. Zahlen sind die universelle Sprache; wir müssen nur lernen, sie zu lesen.