Primzahlen

„Mathematiker haben bis heute vergeblich versucht, irgendeine Ordnung in der Folge der Primzahlen zu entdecken, und wir haben Grund zu der Annahme, dass es sich um ein Geheimnis handelt, in das der menschliche Geist niemals vollständig eindringen wird.“
Leonhard Euler

Eigenschaften und Verteilung

Wie wir zuvor gesehen haben, können Zahlen entweder gerade oder ungerade sein. Dies ist jedoch nicht ihre einzige Kategorisierung; sie können auch prim oder zusammengesetzt, ganzzahlig oder reell, rational oder irrational (oder transzendental) usw. sein. Dennoch ist die Primzahlzugehörigkeit eine der wichtigsten, wenn nicht die wichtigste dieser Kategorien.

Per Definition ist eine Primzahl nur durch die Zahl 1 und sich selbst ohne Rest teilbar. Alles andere gilt als zusammengesetzt. Und während Primzahlen immer ungerade sind (mit Ausnahme der Zahl 2), können zusammengesetzte Zahlen entweder gerade oder ungerade sein. Die ersten Primzahlen sind:
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, …]

Die Zahl 1 wird von den meisten Mathematikern nicht als Primzahl betrachtet. Der Grund dafür ist, dass sich viele mathematische Eigenschaften leichter beweisen lassen, wenn sie ausgeschlossen wird. (Daher kann die Zahl 1 als eigene Kategorie betrachtet werden – weder prim noch zusammengesetzt.)

Wie aus dieser Folge ersichtlich wird, nimmt die Häufigkeit der Primzahlen ab, je weiter wir zu größeren Zahlen übergehen. Dennoch kann keine exakte mathematische Formel ihr Auftreten vollständig vorhersagen oder alle Primzahlen erzeugen. Einige Formeln können zwar einige von ihnen erzeugen, scheitern jedoch früher oder später. Somit fehlen ihnen nicht nur Faktoren, sondern auch ein eindeutiges mathematisches Muster. Diese besondere Eigenschaft – neben vielen anderen – macht Primzahlen ideal für Verschlüsselungs- und Sicherheitszwecke, etwa bei Kreditkarteninformationen und sicherem Surfen im Internet. Der Grund dafür ist, dass das Multiplizieren zweier sehr großer Primzahlen zur Erzeugung einer noch größeren Zahl (einer sogenannten Semiprimzahl) einfach und schnell ist, während das Bestimmen der zugrunde liegenden Primfaktoren ein äußerst schwieriger und zeitaufwändiger Prozess ist.

Auch wenn keine spezielle mathematische Formel alle Primzahlen erzeugen kann, bedeutet dies nicht, dass ihre Verteilung vollkommen zufällig ist. Wie bereits erwähnt, sind – abgesehen von der Zahl 2 – alle Primzahlen ungerade, da jede gerade Zahl durch 2 teilbar ist und somit keine Primzahl mehr sein kann. Außerdem ist bekannt, dass die letzte Ziffer jeder Primzahl größer als 5 nur 1, 3, 7 oder 9 sein kann. Die Zahlen 2, 4, 6 und 8 werden ausgeschlossen, um sicherzustellen, dass die Zahl ungerade ist. Die Zahl 5 wird ebenfalls ausgeschlossen, da jede Zahl, die auf 5 endet, durch 5 teilbar ist.

Mathematisch treten Primzahlen immer in der Form 6k ± 1 auf, wobei k eine beliebige ganze Zahl von 1 bis unendlich ist. Natürlich erzeugen nicht alle k‑Werte Primzahlen; andernfalls wäre diese Formel ein perfekter Generator. Aus dieser Formel wird ersichtlich, dass die Zahl 6 eine Art Dreh- oder Mittelpunkt darstellt, um den herum Primzahlen entstehen. Diese besondere Rolle der Zahl 6 ist so grundlegend, dass sie im Zentrum einiger der wichtigsten Theorien dieses Buches steht.

Obwohl die obige Formel kein perfekter Primzahlgenerator ist, kann sie dennoch verwendet werden, um andere primzahlbezogene Eigenschaften zu beweisen. Eine davon ist, dass für jede Primzahl p ihr Quadrat stets ein Vielfaches von 24 plus 1 ist (p² = f×24 + 1). Der Beweis erfolgt wie folgt: Der Faktor k in 6k ± 1 kann gerade oder ungerade sein; wir schreiben ihn daher als 2m (für gerade) oder 2m + 1 (für ungerade). Setzt man diese Werte in die Gleichung ein und quadriert sie, erhält man vier Formen für p²:
(12m + 1)², (12m + 7)², (12m − 1)² und (12m + 5)².
Nach dem Ausmultiplizieren ergeben sich jeweils Terme, die die Zahl 24 mit einem Faktor von m multipliziert enthalten, plus 1, z. B. (6m² + m)×24 + 1. Fasst man (6m² + m) zu einem einzelnen Faktor f zusammen, erhält man die gewünschte Gleichung p² = f×24 + 1.

Eine weitere Eigenschaft von Primzahlen besteht darin, dass im sogenannten D‑Raum – mit Ausnahme der Zahl 3 – die digitale Wurzel jeder bekannten Primzahl niemals 3, 6 oder 9 ist. Zum Beweis beginnen wir mit der Gleichung p² = f×24 + 1. Hat p eine digitale Wurzel von 3, 6 oder 9, dann ist D(p²) immer 9. Auf der rechten Seite der Gleichung gilt D(24) = 6 und D(f×6) = stets [3, 6 oder 9]. (Dies lässt sich durch Betrachtung der digitalen Wurzeln der Einmaleins-Tabelle überprüfen, auch bekannt als vedisches Quadrat.) Addiert man 1 zur rechten Seite, erhält man stets [3 oder 6 oder 9] + 1 = [4, 7, 1]. Somit kann auf beiden Seiten der Gleichung niemals die digitale Wurzel 9 auftreten, und folglich kann keine Primzahl eine digitale Wurzel von 3, 6 oder 9 haben.

Wenn wir also wissen wollen, ob eine Zahl prim ist oder nicht, stellen wir zunächst sicher, dass sie ungerade ist, und prüfen anschließend ihre digitale Wurzel. Ist diese 3, 6 oder 9, so ist die Zahl definitiv keine Primzahl. Andernfalls besteht die Möglichkeit der Primzahligkeit.

Tabelle 2: Die digitalen Wurzeln der Einmaleins-Tabelle von 1 bis 9, auch als vedisches Quadrat bezeichnet. Jede Multiplikation mit 3, 6 oder 9 führt zu den digitalen Wurzeln 3, 6 beziehungsweise 9.

Verborgene Strukturen im Vedischen Quadrat

Abbildung 7: Das vedische Quadrat wurde verwendet, um die Gültigkeit von Berechnungen zu überprüfen, aber auch, um interessante geometrische Muster zu erzeugen, indem bestimmte Zahlen hervorgehoben und anschließend die Zellen verbunden werden, die diese Zahlen enthalten. Formen, die Zahlen entsprechen, deren Summe 9 ergibt – wie [2, 7], [1, 8] usw. – sind Spiegelbilder voneinander. Das Nachzeichnen der Zahl 9 erzeugt ein Quadrat, das sein eigenes Spiegelbild ist.

Es gibt viele Methoden zur Erzeugung von Primzahlen. Eine bekannte Methode ist das Sieb des Eratosthenes, benannt nach dem griechischen Mathematiker Eratosthenes von Kyrene (276–195 v. Chr.), das eine einfache, aber recht langwierige Methode darstellt, um alle Primzahlen zu finden, die kleiner als eine bestimmte Zahl sind. Um beispielsweise die Primzahlen im Bereich von 1 bis 42 zu finden, schreibt man diese Zahlen zunächst in ein Gitter.

Tabelle 3:Wie man mit dem Sieb des Eratosthenes Primzahlen im Bereich von 1 bis 42 findet.

Als Nächstes streichen wir alle Zahlen, die Vielfache von 2 sind (außer 2 selbst, da alle Primzahlen ungerade sind). Dadurch werden [4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, …, 42] aus dem Gitter entfernt. Danach streichen wir alle Vielfachen der Zahl, die auf 2 folgt, also 3: [9, 15, 21, 27, 33]. Denn nach der Zahl 3 darf keine weitere Zahl durch 3 teilbar sein, sonst wäre sie keine Primzahl. Dasselbe Verfahren wenden wir auf die nächsten Zahlen 5, 6 und 7 an. Das erste Vielfache von 7 nach 35 ist 49, was größer als 42 ist und daher nicht mehr zum Gitter gehört. Die verbleibenden Zahlen sind somit die Primzahlen im Bereich von 1 bis 42:
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41] (die Zahl 1 natürlich ausgeschlossen).

Man erkennt am obigen Gitter, dass alle Primzahlen ausschließlich in der 1. und 5. Spalte liegen. Dies liegt daran, dass die Zahlen in der 2. und 4. Spalte gerade sind, während jene in der 3. und 6. Spalte digitale Wurzeln von 3, 6 oder 9 besitzen. Wie wir bald sehen werden, nehmen Primzahlen bei einer Verteilung in Spalten oder Modulen, deren Nummerierung ein Vielfaches von 6 ist, spezifische Moduli ein, die einzigartigen geometrischen Mustern folgen.

Ein weiteres primzahliges Muster geometrischer Natur wurde von Stanislaw Ulam (1909–1984) entdeckt, einem polnischen Mathematiker, der feststellte, dass Primzahlen, wenn man Zahlen in einer spiralförmigen Sequenz anordnet, dazu neigen, sich entlang diagonaler Linien anzuordnen.

Abbildung 8: Ulam‑Spirale.
Werden Primzahlen ohne 2 aber mit der 1 in Spiralform dargestellt, liegen sie auf diagonalen Linien.

 

Abbildung A: Spiralförmige Anordnung der Zahlen 1 – 49

Abbildung B: Die gleiche Anordnung der Primzahlen und der 1.

Abbildung C: Die gleiche Anordnung mit diagonaler Verbindung von Primzahlen und der 1.

Abbildung D: Die gleiche Anordnung mit Diagonalen aus der anderen Richtung.

In jüngerer Zeit haben Wissenschaftler und Mathematiker noch komplexere Ordnungen in der scheinbar zufälligen Verteilung der Primzahlen entdeckt. Eine solche Ordnung wurde von zwei Mathematikern der Stanford University gefunden: Kannan Soundararajan und Robert Lemke Oliver. Wie wir gesehen haben, ist eine bekannte Eigenschaft von Primzahlen, dass sie auf 1, 3, 7 oder 9 enden müssen. Würden Primzahlen völlig zufällig auftreten, sollte es keine Rolle spielen, welche Endziffer die vorherige Primzahl hatte; jede der vier Möglichkeiten müsste mit gleicher Wahrscheinlichkeit von 25 % auftreten. Dies ist jedoch nicht der Fall. Nach der Untersuchung der ersten 400 Milliarden Primzahlen stellten sie fest, dass Primzahlen dazu neigen, es zu vermeiden, dieselbe Endziffer wie ihre unmittelbare Vorgänger‑Primzahl zu haben.

Wie Dr. Oliver es formulierte, verhalten sie sich so, als würden sie es „wirklich hassen, sich zu wiederholen“. Außerdem fanden sie heraus, dass Primzahlen, die auf 3 enden, häufig von solchen gefolgt werden, die auf 9 enden, statt auf 1 oder 7. (Dieses Verhalten lässt sich durch die Operation der digitalen Wurzel erklären, wie später noch erläutert wird.)

Aus dem Vorstehenden wird deutlich, dass Primzahlen keineswegs wirklich musterl os sind. Im Gegenteil: Es gibt zahlreiche Bedingungen und Regeln, die ihre Verteilung bestimmen – insbesondere in Bezug auf die Zahl 6. Und gerade im geo‑numerischen Raum, in dem Geometrie und Zahlen kombiniert werden, werden ihre verborgenen Muster sichtbar, wie wir als Nächstes untersuchen werden.

Das 24er-Rad der Primzahlen

In seinem Buch God’s Secret Formula zeigte Dr. Peter Plichta, dass sich durch die Verteilung von Zahlen auf konzentrischen Kreisen – jeweils 24 pro Kreis – die Primzahlen entlang bestimmter Durchmesser bzw. Moduli anordnen. Dadurch entsteht eine Form, die einem Malteserkreuz oder einem Pluszeichen ähnelt. Dieses Muster ist unendlich und lässt sich wie folgt begründen: Jede Zahl im 2. Modulus kann in der Form 2 + 24h = 2(1 + 12h) geschrieben werden, wobei h eine ganze Zahl von 0 bis unendlich ist; sie ist daher stets durch 2 teilbar und kann folglich keine Primzahl sein. Dieselbe Logik gilt für die Moduli 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21 und 22. Übrig bleiben acht Moduli – die sogenannten Prim-Moduli –, die als einzige Plätze für Primzahlen dienen. Jene Primzahlen, die auf demselben Arm des Pluszeichens liegen und sich um zwei unterscheiden, werden Zwillingsprimzahlen genannt, während solche, die auf benachbarten Armen liegen und sich um vier unterscheiden, Cousin-Primzahlen heißen.

Abbildung 9: Die Verteilung der Primzahlen entlang eines Modulo-24-Kreises besetzt Restklassen, die die Form eines Malteserkreuzes bilden.

Im Allgemeinen bilden Primzahlen Formen mit einer Symmetrie, die der Anzahl der Moduli geteilt durch sechs entspricht. Im obigen Beispiel formen Primzahlen ein Kreuz, da 4 = 24/6 ist. Werden Zahlen auf einem 30-Moduli-Rad verteilt, bilden Primzahlen ein Fünfeck (5), da 5 = 30/6 ist, und so weiter. Dies ist eine Konsequenz der zuvor erwähnten Eigenschaft, dass jede Primzahl die Form 6k ± 1 besitzt.

Die auf 24 basierende Verteilung scheint im Vergleich zu anderen Verteilungen einzigartige Eigenschaften zu besitzen. Beispielsweise liegen alle quadrierten Primzahlen ausschließlich im 1. Modul. Dies ist bei anderen Verteilungen nicht der Fall, selbst wenn sie auf der Zahl 6 basieren, wie etwa 18 oder 30. Dieses Verhalten ergibt sich aus der Tatsache, dass das Quadrat jeder Primzahl stets ein Vielfaches von 24 plus 1 ist.

Abbildung D: Abbildung 9 mit Kennzeichnung der Primzahlen, Primzahlquadrate und Quasiprimzahlen für Zahlen größer oder gleich 5

Die Zahlen, die auf den Prim-Moduli liegen (die 1., 5., 7., 11., 13., 17., 19. und 23. Speiche des Rades), lassen sich in drei Hauptkategorien einteilen:
1. Primzahlen,
2. quadrierte Primzahlen und
3. Quasi-Primzahlen.

Quasi-Primzahlen sind eine neue Zahlenkategorie, definiert als das Produkt von Semiprimzahlen (Zahlen, die aus dem Produkt zweier Primzahlen entstehen) und/oder Primzahlen, die größer oder gleich 5 sind. Dazu gehören Zahlen wie 55, 175 oder 245. Man beachte, dass es sich ausschließlich um ungerade Zahlen handelt und dass sie nur durch Zahlen faktorisiert werden, die selbst auf den Prim-Moduli liegen. Zusätzlich unterscheiden sich Quasi-Primzahlen wesentlich von Semiprimzahlen dadurch, dass sie die Zahlen 2 und 3 als Primfaktoren ausschließen. In diesem Sinne besitzen sie gewisse Eigenschaften, die denen von Semiprimzahlen ähneln – ohne selbst echte Primzahlen zu sein –, behalten jedoch einen gewissen Grad an Primzahlzugehörigkeit.

Eine eingehende Analyse des 24-Verteilungsrades zeigt, dass die Zahlen auf den Prim-Moduli innerhalb dieser Moduli selbstenthaltend sind. Mit anderen Worten: Man kann ein Multiplikationsgitter (Q-Gitter) erstellen, bei dem die horizontalen und vertikalen Linien aus Primzahlen und Semiprimzahlen bestehen. Das resultierende Gitter enthält alle Zahlen innerhalb der Prim-Moduli, die keine Primzahlen sind. Folglich ist jede Zahl, die auf den Prim-Moduli liegt und nicht im Multiplikationsgitter enthalten ist, mit Sicherheit eine Primzahl.

Man beachte, dass die diagonalen Zahlen des Gitters wie ein Spiegel wirken. Zusätzlich folgen die digitalen Wurzeln dieser Linie einer sich wiederholenden Sequenz 174471174471…, die ausschließlich aus der numerischen Gruppe [1, 4, 7] besteht. Theoretisch ermöglicht das Q-Gitter somit, die Primzahlzugehörigkeit jeder Zahl mit 100 % Genauigkeit zu testen, ohne komplizierte Techniken anwenden zu müssen. Es erlaubt außerdem, neue Primzahlen vorherzusagen und eine schnellere Primfaktorzerlegung.

Tabelle 4: Das Multiplikationsgitter von 1 bis 31

Primzahltest und Primfaktorzerlegung

Die Primfaktorzerlegung ist bei sehr großen Zahlen äußerst schwierig. Aus diesem Grund werden Semiprimzahlen in modernen Verschlüsselungstechniken eingesetzt.

Es gibt viele Methoden zur Primzahlprüfung. Die einfachste ist die Probedivision, andere sind probabilistische Tests wie der Fermat-Test sowie Fibonacci- oder Lucas-Tests.

Das Q-Gitter stellt eine exakte Methode dar, mit der sich die Zeit für Primzahltests erheblich reduzieren lässt. Besteht eine Zahl die Grundkriterien, wird geprüft, ob sie im Q-Gitter erscheint. Falls ja, ist sie nicht prim; andernfalls ist sie prim.

Liegt die Zahl nahe der Spiegelachse des Q-Gitters, ist die Prüfung einfach. Liegt sie weit davon entfernt, ist eine komplexere Analyse nötig.

Auch die Primfaktorzerlegung mithilfe des Q-Gitters erfordert Suchalgorithmen, die die Geometrie des Gitters ausnutzen. Der geometrische Aspekt wird in Teil III weiter erläutert.

Quadrantensymmetrien

Abgesehen von ihren Fähigkeiten zur Primzahlerkennung und -faktorisierung liefern das auf 24 basierende Ikositetra­gon-Rad und seine Projektion der Prim-Moduli, das Q-Gitter, einen interessanten Einblick in die Beziehungen, die Zahlen untereinander haben. Durch die Projektion der Zahlen der acht Prim-Moduli auf das unten dargestellte Q-Gitter entdecken wir ein bemerkenswertes Verhalten. Man beachte, dass jene Quasi-Primzahlen, die zu den 1., 4., 5. und 8. Prim-Moduli gehören, sich entlang des Gitters ohne Unterbrechung fortsetzen (durchgezogene Linien), während jene der 2., 3., 6. und 7. Moduli (gestrichelte Linien) entweder durch sich selbst oder durch die anderen vier Prim-Moduli unterbrochen werden. Daraus ergibt sich eine Art Symmetriebruch zwischen den horizontalen und vertikalen Prim-Moduli, der aus der geometrischen Symmetrie des Ikositetra­gon-Rades nicht unmittelbar ersichtlich ist.

Abbildung F: Multiplikationstabelle der Primzahlen
und Semiprimzahlen größer als 5 bis 61

Abbildung G: Multiplikationstabelle der Grundziffern der Primzahlen und Semiprimzahlen größer 5 bis 61

Diagonal wiederholen sich die Sequenzen:
1, 1, 7, 4, 4, 7 oder 8, 5 oder 2

Betrachtet man die Diagonalen um 90° gedreht, erkennt man die Sequenz:
8, 8, 2, 5, 5, 2 oder 1, 4 und oder 7

Betrachtet man die Zahlenfolge in den Spalten, so wiederholt sich immer wieder die Sequenz: 8, 4, 5, 1, 2, 7

Tabelle 5: Das Nachzeichnen der Primzahl-Moduli auf dem Q-Gitter offenbart eine Symmetriebrechung zwischen den  Nord-/Süd-Moduli (durchgezogene Linien)
und den Ost-/West-Moduli (gepunktete Linien).

Untersucht man die nördlichen, östlichen und westlichen zentralen Achsen des Rades, so findet man eine interessante komplementäre Eigenschaft. Mithilfe der untenstehenden Abbildung erkennen wir, dass sich Zahlen auf den östlichen und westlichen Moduli jeweils nur zu jeder zweiten Zahl auf dem nördlichen Modulus addieren. Beispielsweise ergeben die Zahlen 6 und 18 auf der horizontalen Achse die Zahl 24 auf der vertikalen Achse, ebenso 30 + 42 = 72, 54 + 66 = 120 und so weiter. Der südliche Modulus ist von dieser Eigenschaft ausgeschlossen, was ein weiteres asymmetrisches Verhalten darstellt.

Abbildung 10: Die zentralen Ost-West-Moduli ergeben in ihrer Summe jeweils jede zweite Zahl des nördlichen zentralen Moduls.

Zusätzlich ergänzen sich die nördlichen und südlichen zentralen Moduli gegenseitig, wobei sich jeweils zwei Zahlen auf diesen Moduli zu einer Zahl auf dem südlichen Modulus addieren, wie unten dargestellt. So finden wir auf der vertikalen Achse beispielsweise: 24 + 12 = 36, 72 + 60 = 132 usw. Die ost-westlichen zentralen Moduli zeigen hingegen dieses Verhalten nicht.

Abbildung 11: Komplementäre Eigenschaft der Nord-Süd-Moduli: Die Summe zweier Zahlen aus den Nord-Süd-Modulen liegt immer im Süd-Modul.

Im Folgenden ist eine Abbildung einer weiteren komplementären Eigenschaft dargestellt, bei der sich Zahlen auf zwei Prim-Moduli zu einer Nicht-Primzahl auf dem zentralen Modulus addieren. So ergeben beispielsweise die Primzahlen 77 und 79 zusammen 156, was auf dem südlichen zentralen Modulus liegt. Ebenso gilt: 12 = 5 + 7, 24 = 13 + 11, 24 = 23 + 1, 36 = 19 + 17, 60 = 29 + 31 usw.

Abbildung 12: Die Addition von Primzahlen, die auf Primzahl-Modulen liegen, ergibt zusammengesetzte Zahlen auf den Zentralmodulen.

Aus der obigen Analyse wird deutlich, dass die numerische Konfiguration des Ikositetra­gons (24-seitiges Polygon) einen Quadrantencharakter besitzt. Diese Quadranten werden durch die primären horizontalen und vertikalen zentralen Moduli definiert, die gleichzeitig als komplementäre Achsen fungieren. Dabei stehen die Zahlen auf den zentralen Moduli in komplementären Beziehungen sowohl zu Zahlen auf anderen zentralen Moduli (Abbildungen 10 und 11) als auch zu Zahlen, die zu den Prim-Moduli gehören (Abbildung 12), wie oben erläutert.

Quadrantensymmetrie begegnet uns in vielen Bereichen der Physik und Mathematik, etwa in der komplexen Ebene, in der die reelle und die imaginäre Achse eine ähnliche Konfiguration definieren. Dabei sind die Quadranten auf der negativen Seite häufig eine Fortsetzung oder Spiegelung jener auf der positiven Seite, wie es der Satz über die Stetigkeit komplexer Funktionen beschreibt. Auch sich ausbreitende elektromagnetische Wellen definieren eine ähnliche Quadrantenebene, wie wir später sehen werden.

Allen kohärenten Quadrantenkonfigurationen ist das Vorhandensein einer Beziehung oder Symmetrie zwischen den Elementen jedes Quadranten gemeinsam, das heißt eine Spiegelungssymmetrie um die horizontale Achse und/oder die vertikale Achse. Dies gilt auch für das numerische Ikositetra­gon-Rad, da jede ganze Zahl auf den zentralen Moduli und den sie umgebenden Prim-Moduli zirkular-komplementäre Beziehungen zu Zahlen auf anderen Moduli besitzt, sodass sich diese zu 360 (oder Vielfachen von 360) addieren und somit Teil desselben Quadranten-Ganzzahlensatzes sind. Die untenstehende Abbildung erläutert diese Spiegelungsbeziehung zwischen den Elementen eines Quadranten-Sets.

Abbildung 13: Definition der spiegelbildlich-komplementären Beziehung innerhalb einer Menge von vier Zahlen, zu der A gehört.

Wir erläutern die oben beschriebene Quadrantensymmetrie anhand eines Beispiels. Betrachtet man die Zahl 341 auf dem 5. Modulus, so findet man ihre komplementäre Zahl 19 auf dem gegenüberliegenden, gespiegelten 19. Modulus (5 + 19 = 24), wenn man über den zentralen vertikalen Modulus (24 und 12) reflektiert. Dies liegt daran, dass 341 + 19 = 360 ist. Die beiden zusätzlichen Komplemente 161 und 199 werden über den horizontalen Modulus reflektiert (Moduli 6 und 18). Man beachte, dass die Zahl 199 komplementär zur Zahl 19 ist und ebenso die Zahl 341 zur Zahl 161. Mit anderen Worten: 199 − 19 = 180 = 341 − 161. Diese beiden Zahlen gehören zum selben Quadranten-Set, nicht nur weil 161 + 199 = 360 ist, sondern auch weil sie Grad- und Dezimalreferenzen vereinheitlichen, wenn sie um einen Einheitskreis herum referenziert werden.

Abbildung 14: Die Winkelbeziehung zwischen den vier Zahlen, die zu einer komplementären Menge gehören. In diesem Beispiel ist 199° eine Fortsetzung von 19°, ebenso wie 341° eine Fortsetzung von 161°.

Teilt man die Dezimalzahlen durch 360, erhält man eine normalisierte Referenz für das Set, bei der sich die Zahlen zu 1 statt zu 360 addieren. Man kann diesen Dezimalreferenzen auch Vorzeichen zuweisen, die ihre Position auf dem Einheitskreis definieren und ein Gleichgewicht von 0 um den gesamten Kreis aufrechterhalten. Dies ist in der untenstehenden Abbildung für das Set [(43, 317), (137, 223)] dargestellt.

Abbildung 15: Normalisierte Darstellung einer komplementären Menge [(43, 317),
(137, 223)] einschließlich der Dezimalbezüge und Vorzeichenzuweisungen.

Für Zahlen größer als 360 gelten dieselben komplementären Eigenschaften; die Zahlen addieren sich jedoch zu n × 360, wobei n eine ganze Zahl ist, die für die ersten 360 Zahlen gleich 1, für die nächsten 360 Zahlen gleich 2 usw. ist.

Die Quadrantenbeziehungen lassen sich besonders gut erkennen, wenn man die trigonometrischen Werte ihrer Referenzwinkel betrachtet, wie in der untenstehenden Abbildung dargestellt. Die Werte in den Klammern stehen jeweils für Kosinus, Sinus und Tangens der Winkel (‚und.‘ steht für undefiniert, z. B. bei irrationalen Werten). Man beachte, dass diese Werte über die Quadranten hinweg gespiegelt sind und sich lediglich durch ein ±-Vorzeichen unterscheiden. Es existieren außerdem komplementäre Symmetrien, die den Zahlen der zentralen Moduli entsprechen und sich ad infinitum in Vielfachen von 360 oder 180 in einem zyklischen Muster fortsetzen, wie unten gezeigt.

Abbildung 16: Trigonometrische Werte dreier verschiedener Quadrantenwinkel-Mengen, die über alle vier Quadranten gespiegelt sind und sich ausschließlich durch ihre Vorzeichen unterscheiden.

All diese symmetrischen und asymmetrischen numerischen Beziehungen sind eine Konsequenz der zweidimensionalen geometrischen Konfiguration der Zahlen und lassen sich in ihrer eindimensionalen linearen Form nicht ohne weiteres erkennen. Während sich die symmetrischen Beziehungen durch die Geometrie des Rades erklären lassen, sind die asymmetrischen schwieriger zu deuten, insbesondere wenn sie dieselben Symmetrieachsen betreffen.

Abbildung 17: Die Zahlen auf den horizontalen Moduli ergänzen sich zu 360° (links), während sich die vertikalen Moduli zu Vielfachen von 180° ergänzen (rechts).

All dies deutet auf eine offensichtliche Schlussfolgerung hin: Zahlen sind ihrer Natur nach geometrisch, und ihre Affinität zu Kreisen ist besonders ausgeprägt. Ihre wahren Kräfte, Eigenschaften und Beziehungen werden erst dann sichtbar und sinnvoll, wenn sie kreisförmig statt linear angeordnet werden. Dies ist etwas, das wir bereits früh im D-Raum beobachtet haben, da numerische Symmetrien und Beziehungen erst dann klar hervortreten, wenn Zahlen um Kreise herum verteilt werden.

Daher ergibt es keinen Sinn, Zahlen und Geometrie voneinander zu trennen; sie sollten stets gemeinsam als kohärente Einheit untersucht werden. Nur durch diesen geo-numerischen Raum können wissenschaftliche Rätsel entdeckt und gelöst werden.